正木です。

[ruby-math:00957] での"近岡-原の定理"を私自身に分かり易い形に
書き直してみました。


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【定理】x, k を自然数で 2|k|x, k**4 <= 4*a とするとき、

        N(x) = (x + a/x)/2

    に対し次が成り立つ。

        -1 < x/k - sqrt(a)/k <= 1 ならば 0 <= N(x) - sqrt(a) < 1.

【系】同じ前提条件で

        0 <= x/k - [sqrt([a/k**2])] <= 1 ならば 0 <= [N(x)] - [sqrt(a)] <= 1.

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系の証明は、n が整数のとき

    0 <= n - [x] <= 1  と  -1 < n - x <= 1 は同値

    0 <= x  のとき

    [sqrt([x])] = [sqrt(x)]

であることを使えば、ほぼ自明.