原です。

 >正木です。

 >|普通はこの定理は本来は圏論的に述べられるので、「全ての写像は」とい
 >|言葉は、ほんとは「全ての射は」と言うべきですね。圏論なんてもったい
 >|ぶらずとも、「これこれの条件を持つ全ての写像について、あれが言える
 >|とすると、これこれの条件を持つ全ての写像には不動点がある。」という
 >|形になる、と言えば良いかな。

 >しかし Category の話だとすると、射の不動点というのは意味が分からないので、
 >この定理の正確な表現を教えていただけませんか。
 >F,V を category にして、写像を functor に読み換えれば良いということでも
 >なさそうな気がするので。

F, V はある category のオブジェクトで、「写像」を射と考えます。
考える category は、concrete category(各オブジェクトは集合、射
は関数とみなせる category)とすれば、「射の不動点」に意味があ
ります。

「集合の要素」の様な概念を排除したければ、要素の代わりに「terminal 
object からの射」を使えば全く同じです。terminal object とは、任意
のオブジェクトからそれへのただ一つの射があるオブジェクトです。(集
合の category では、1点集合 {*} がそれに該当します。)ちょうど、
Lawvere の不動点定理は「Diagonal Theorem」という名前で、酒井さんが
本人の本から引用してくれているので紹介します。

   「日々の流転(5/13)」
   http://web.sfc.keio.ac.jp/~s01397ms/d/?date=200205
   より孫引き:

   Diagonal Theorem:
   (In any category with products) If Y is an object such that there 
   exists an object T with enough points to parameterize all the maps
    T→Y by means of some single map f:T×T→Y, then Y has the 'fixed 
   point property': every endomap α:Y→Y of Y has at least one point
    y:1→Y for which αy=y.

ここでは 1 が terminal object を意味しています。