Toshです。

In message "[ruby-math:00002] Why is '**' not abelian"
    on 00/01/08, Toyofuku <toyofuku / juice.or.jp> writes:
>  文字列連結は「+」か「*」かという関係でいろいろ
>考えていたら、
>    succ の繰り返しである + が可換で、
>    + の繰り返しである * が可換であるのに
>    * の繰り返しである ** はなぜ非可換なのか
>が不思議になってきました。
>  これは自然数のどの根本的性質からきているの
>でしょうか。
>  自然数って、「最初の要素」「successor」、
>「数学的帰納法」からできてるんでしたっけ。
>(ペアノの公理?)

ペアノの公理(って実は良く知らないけど)は自然数全体の集合の集合論的
な構造(可算整列集合かな?)を定義しているにすぎないので、その上の
演算とか代数的なものは関係ないんじゃないですか?

もとの論点の'*'と'**'の違いですが、'*'が '+'の繰り返し、って考え方から
自然に出てくるのは環としての整数でなくRを整数環としてR-加群としての
整数なので、可換・非可換の問題とは(「繰り返し」ってことは)無関係なので
はないかと思います。

整数環で演算'*'が'+'の繰り返しになっているのは偶然と言うか、もともと
あった演算にうまくあうように環と言う数学概念が定義されたと言うか。

そもそも'**'は演算とみると結合則すら満たしていないので、'+'や'*'とは
趣が違いますね。

# もとの疑問に答えているとは言えないかも。でも、なんか理由があって
# どうこうってもんでもない気がします。'+'や'*'は「いい性質」があるので
# 数学の対象になるけど'**'はそうはならないってだけで。

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Tosh
  toshirok / yb3.so-net.ne.jp