原です。

>正木です。

>有理数体は Euclid 整域にはならないと思いますが。

あ、失礼しました。確かに体は全て Euclid 整域になるのですが、
例のあげ方を間違ってしまいました。

>|[ユークリッド整域の例]
>|(3) 実数部分 x と虚数部分 y が整数である複素数全体。
>|     N(x + yi) = Sqrt(x**2+y**2)
>|(4) 有理数。N(x) = |x|
>
>(3) の Sqrt は不要。

おっしゃる通りです。

>(4) の N(x) は整数になっていません。

体においては N(x) は何でもいいので、例えば N(x) = 1 とでもする
べきでした。

実は [ruby-math:00523] の Euclid 整域の定義は「簡易バージョン」
で、一般的には N(x) の値域として「整列集合」を取ります。前の例
はこちらの定義に沿ったものでした。


>不自然と思うかどうかは人それぞれですから置いておくとして問題は、
>a.div b
>で済むところを、無用の混乱を引き起こす危険を敢えて冒してまで
>a/b
>と書く必要があるのかどうかということです。

そうですね。議論になっている点はここです。

ところで、

>rational number の rational の語源であるラテン語の ratio および対応する
>ギリシャ語の logos には通常の意味のほかに、「比」「比例」「相似」の意味が
>あり、(例えば英語の ratio,analogue 等) rational number は整数の比で表わされる
>数の意味で、これを有理数と訳したのは誤訳だと思っているのですが、英語の 
>native の人はこの場合の rational の意味として ratio と reason の内どちらを
>意識するものでしょうか? もし rational に ratio の意味が残っていないとする
>と、英語になった時点で誤訳だったのかもしれません。
>上に書いたことは、そうに違いないと思っているだけで文献的根拠はないので
>もし間違っていたら指摘してください。

これは昔から私も全く同じ事を思っていました。「有理数」は誤訳で「比数」
とでも言うべきではないかと。どうなんでしょうね。