原先生 wrote:
> 「数の神秘」の一種?

同意します。が、少しだけ一般化してみると、
無限巡回半群の特徴とも言うことができます。

Th. 無限巡回半群は自然数上の加法半群に同型である。
  c.f. 田村 孝行 "[復刊] 半群論" p. 63 Th. 4.1.3, 共立出版

の系として、

  【定理】 @ が (自然数上の) associative な2項演算とするとき次の3つは同値。
    (1) @' は abelian。
    (2) @ は +。
    (3) @' は *。

が出てきます。というのは、
  --- @ が associative である <=> @ は半群をなす (半群の定義)
  --- @' が abelian <=> @ がなす半群は自然数上の無限巡回半群
ですので。
@ が自然数上の演算なので、+ と同型というよりもむしろ一致します。

上に挙げた Th. の証明は、同型という言葉を間にはさみつつ
原先生のメールにあった手法で進めればよいです。

# @, @' の定義については、前のメール [ruby-math:01000] を御覧ください。
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いけがみ@まっどさいえんてぃすと